수학적 사고법, 저자 요시자와 미쓰오

수학적 사고법 국내도서 저자 : 요시자와 미츠오 / 박현석역 출판 : 사과나무 2015.12.23 상세보기

수학적 사고법

요시자와 미쓰오 지음

사과나무 / 2015년 12월 / 216쪽 / 11,800원

 - 저자 요시자와 미쓰오는?

1953년 도쿄 출생. 가쿠슈인 대학 이학부 수학과 졸업. 수학ㆍ수학교육. 이학 박사. 도쿄 이과대학 이학부 교수(이학연구과 교수)를 거쳐 현재 오비린 대학 리버럴 아츠(liberal arts) 학군 교수. 저서로 『산수ㆍ수학에 강해지는 책』, 『수학적 영감』, 『수의 몬스터 어택』, 『치환군에서 배우는 조합 구조』, 『신기한 숫자 이야기』 등이 있다.

 - 차례를 알려주세요.

머리말: 수학적 사고의 필요성 

1장 수학에 대한 오해 

  - 분수 계산을 못 하는 대학생 

  - 젊은이들은 왜 지도를 읽지 못할까 

  - 인도의 수학 교육은 무엇이 다른가 

  - 객관식 문제의 본질적 결함 

  - 이과, 수학 과목을 기피하는 이유 

  - ‘결론만 증후군’에 빠지지 말자 

  - ‘처리’에 급급하면 ‘전략적 사고’를 잃는다 

2장 ‘시행착오’라는 사고법 

  - 풀지 못한다 해도 생각하는 것이 중요하다 

  - ‘운’에서 ‘전략’으로 

  - 개수(個數)의 기본은 하나, 둘, 셋… 하고 헤아리는 것 

  - ‘검토’란 스스로를 의심해보는 중요한 시행착오 

  - ‘조건’을 변경하면 무슨 일이 일어날지 사전에 예측하자 

  - 맹목적인 ‘정규분포 신앙’에서 벗어나기를 

  - ‘정성적’인 것은 암기, ‘정량적’인 것은 시행착오 

3장 ‘수학적 사고’의 핵심 

  - 해결을 위해서는 ‘요인의 개수’에 유의하라 

  - 목표부터 ‘접근’하도록 하자 

  - 규칙성의 이해를 위해 필요한 것 

  - 대상을 ‘치환’해서 생각하자 

  - ‘동형(同型)’적 발상이 창조력을 키운다 

  - 효과적인 ‘구별’을 모색하자 

  - ‘경우에 따른 분류’로 과제의 핵심에 접근하자 

  - 질문 방법에 주의하자 

  - 기대치는 로또를 위해서 존재하는 것이 아니다 

  - 부지런히 데이터를 수집하자 

  - 부지런히 상관도를 그려보자 

  - 아날로그형 숫자, 디지털형 숫자를 다루는 법 

4장 ‘논리적인 설명’의 열쇠 

  - ‘논리’를 바탕으로 한 설명, ‘데이터’를 바탕으로 한 설명 

  - ‘가정에서 결론을 이끌어내는 법’과 ‘전체의 균형’ 

  - 어떤 설명에나 반드시 ‘열쇠’가 있다 

  - ‘모든’과 ‘어떤’의 용법은 부정문과 함께 이해하자 

  - 일상의 설명에서 사용되는 ‘귀류법’의 함정 

  - ‘예를 들어서…’를 능숙하게 사용하는 법 

  - 생각하고 있는 대상이 ‘전순서’인지 확인하자 

  - 통계를 사용할 때는 ‘데이터의 개수’를 잊지 말자 

  - ‘불법사채’와 ‘제3금융권’의 차이 

  - 인간의 예측은 ‘직선적’이다 

  - 설명문도 자꾸 써보면 잘 다듬어진 글이 완성된다 

  - 점보다 선, 선보다 면으로 설명하자 

 - 줄거리 요약해 주세요.

오늘날 ‘논리적 사고’나 ‘전략적 사고’가 중요시되고 있는 추세에 따라 최근 들어 수학적 능력이나 수학적 사고의 중요성을 주장하는 책과 텔레비전 프로그램이 늘어나고 있는 것은 매우 반가운 일이다. 그러나 한편으로는 수학의 중요성을 강조하는 서적이나 텔레비전 보도 내용에는 수학적으로 의문을 가질 만한 것들이 많다. 뿐만 아니라 제대로 된 수학 교육을 받았을 것이라 생각되는, 지도적 위치에 있는 사람이나 지식인이라고 불리는 사람들의 발언 속에도 논리적으로 의심스러운 부분이 적지 않다. 특히 산수 또는 수학이란, 주어진 조건 속에서 여러 가지로 ‘생각하는 법’을 배우는 것일 터인데 단순한 계산연습을 반복해서 속도를 올리거나 해법을 통째로 암기하는 것이 수학 실력을 키우는 ‘구세주’라도 되는 양 받아들여지고 있는 풍조다. 물론 계산력은 필요하다. 하지만 그와 같은 ‘조건반사적 암기 학습법’으로 ‘처리능력’은 향상시킬 수 있을지 모르나 사고력은 기를 수 없다. 하물며 가장 중요한 ‘수학의 즐거움’을 아는 것과는 완전히 정반대에 있는 방법이라고 말할 수 있다. 수학적 사고를 통해 배울 수 있는 것들 중에는 경제나 비즈니스뿐만 아니라 사회문제든, 정치적 문제든 우리 주변의 여러 가지 문제를 생각하고 해결할 때 그 열쇠가 되는 것이 아주 많다. 그리고 ‘설명력’에서도 산수나 수학에서 배운 논리력이 큰 도움을 준다. 이 책은 이러한 논리적인 생각과 설명하는 기술 및 방법을 충분히 소개하고 있다. 원래 ‘창조’라는 것은, 스스로 여러 가지로 궁리하여 새로운 것을 만들어내는 것이지, 무엇인가를 외우거나 흉내 내는 것은 결코 아니다. 그리고 ‘창조력을 키운다’는 말은 ‘문제 해결을 위한 좋은 아이디어는 없을까?’ 하고 시행착오를 거쳐 포기하지 않고 해결에 이르는 과정을 끈질기게 생각해 나가는 힘을 기르는 것을 의미한다. ‘영감(inspiration)’만 해도 느닷없이 하늘에서 뚝 떨어지는 것이 아니다. 생각에 생각을 거듭하는 사이에 문득 떠오르는 것이다. 그렇기 때문에 증명문제의 사전 단계로 ‘좋은 방법은 없을까?’라고 스스로 묻고 시행착오를 겪는 것이 중요하다. 사람에 따라 정도의 차이는 있겠지만, 시행착오 끝에 번쩍, 하고 머릿속에 해결 방법이 떠오르면 누구든 환희를 느낄 것이다. 하지만 머릿속 생각으로만 그치면 이른바 ‘암묵지(暗默知)’에 지나지 않는다. 그렇기 때문에 수학에서의 증명 후의 단계에서는 논리적으로 분명한 설명문인 증명문을 ‘형식지(形式知)’로 완성시켜 쓰게 하고 있다. 그 능력 역시 오늘날에는 매우 중요하다. 여기서 암록지(Tacit Knowledge)란 학습과 체험을 통해 개인에게 습득되어 있지만 겉으로 드러나지 않는 상태의 지식을 말하고, 형식지(Explicit Knowledge): 암묵지가 문서나 매뉴얼처럼 외부로 표출돼 여러 사람이 공유할 수 있는 지식을 말한다. 내부적인 대화나 암묵적 이해만으로도 소통이 충분한 좁은 사회에서 생활하고 있다면 모르겠지만, 지금은 정보화ㆍ국제화 시대다. 지금 사회에서 요구되는 것은 화려한 수식어로 꾸민 미사여구의 나열이나, 의미를 이해할 수 없는 언어의 나열이 아니다. 무엇보다 필요한 것은 누구에게도 잘못 전달되지 않을 객관적인 언어의 나열이다. 그런 의미에서 증명의 다음 단계로 이어지는 논리적 설명문 쓰기가 매우 중요하다. 또한 중요한 프로그램은 몇 개의 작은 프로그램들이 모여 이루어지는 것처럼 긴 설명문 또한 몇 개의 단락으로 나뉘는 것이 일반적이다. 따라서 긴 설명문을 쓰다 보면, 전체를 한눈에 볼 수 있는 능력이 생기게 된다. 지금 우리에게 가장 중요한 능력은 ‘끈질기게 생각하는 능력’과 ‘논리적으로 분명하게 설명하는 능력’이다. 따라서 그 양자를 종합한 ‘증명력’을 기르는 교육이 경시되고 있는 지금의 수학 교육 상황을 하루라도 빨리 개선해야 한다. 이 책은 수학적 사고방식과 수학의 재미를 이해시키기 위해서 각 항을 짧지만 완결된 칼럼 형식으로 정리하고 있다. 따라서 어느 부분이든 흥미를 느끼는 곳을 먼저 읽어도 상관이 없다. 제1장에서는 교육문제를 중심으로 수학에 관한 세상의 여러 가지 ‘오해’에 대해서 다루고 있고, 제2장 이후부터는 전(前)단계로 시행착오라는 사고를 실행한 뒤, 다음 단계로 설명력을 구사하는 증명문제를 순서에 따라 소개하고 있다. 이 책은 학생들이 산수나 수학을 배우는 데 가장 중요한 핵심 내용을 이해시키고 더불어 어른들에게도 중요한 수학적 사고법을 키울 수 있도록 돕고 있다. 

 - Huni's Opinion 1

 현재 세계에서 인구가 가장 많은 상위 세 나라는 중국, 인도, 미국인데 순서대로 약 13억, 약 12억, 약 3억명인데 아시나요? 2050년이 되면 인도가 약 15억 명, 중국이 약 14억 명이 될 것이라고 예상하고 있다고 어느 한 매체에서 봤었습니다. 우리나라는 2022년이면 인구가 줄기 시작한다는데 큰일입니다. 인구 면에서는 인도가 중국을 추월하여 세계 제일이 될 것이라는 예상하기 때문에 분명 나중에는 중국보단 인도가 더 빠르게 성장하지 않을까요? 또한 세계 소프트웨어 기업에 관한 랭킹을 보면, 상위 100위 중 절반 가까이가 인도의 기업이 차지하고 있다고 해도 과언이 아닙니다. 특히 IT 소프트웨어에 관한 인도 기술자들의 우수성은 예전부터 주목받고 있으며 인도 아이들은 놀랍게도 20X20의 곱셈까지 암기하고 있다고 합니다. 그렇기 때문에 인도인들은 수학을 잘한다’는 식의 너무도 피상적인 내용밖에 보도하지 않습니다. 그것이 어째서 소프트웨어 개발력을 향상시키는 것인가에 대해서는 생각조차 해보지 않는 듯합니다. 제가 오늘 소개해 드린 책은 왜 인도 사람들이 수학적 능력이 우수한지, 즉 수학적 사고력이 필요한 소프트웨어 기술자들이 많은지에 대해 잘 나와 있는 책인거 같습니다. 강추합니다.

 - Huni's Opinion 2

현재 세계에서 인구가 가장 많은 상위 세 나라는 중국, 인도, 미국인데 순서대로 약 13억, 약 12억, 약 3억 명이라고 합니다. 그것이 2050년이 되면 인도가 약 15억 명, 중국이 약 14억 명이 될 것이라고 예상이 된다고 하니 인도는 이제 중국을 넘어 인구수가 엄청난것 같습니다. 인구 면에서는 인도가 중국을 추월하여 세계 제일이 될 것이라는 예상이 되며 또한 세계 소프트웨어 기업에 관한 랭킹을 보면, 상위 100위 중 절반 가까이가 인도의 기업이 차지하고 있습니다. 특히 IT 소프트웨어에 관한 인도 기술자들의 우수성은 예전부터 주목받고 있었습니다. 우리나라 사람들은 우리가 최고인줄 알지만 인도인 친구들 둔 저로써는 정말 대단한 사람이라고밖에 말을 못하겠습니다. 그렇다면 인도인의 소프트웨어 기술이 왜 이토록 우수할까요? 우선 ‘인도 아이들은 놀랍게도 20X20의 곱셈까지 암기하고 있다고 합니다. 그렇기 때문에 인도인들은 수학을 잘한다’는 식의 너무도 피상적인 내용밖에 보도하지 않지만 그것이 어째서 소프트웨어 개발력을 향상시키는 것인가에 대해서는 생각조차 해보지 않는 듯 합니다. 자릿수가 높은 곱셈을 암기하면 수학 실력이 향상되는 것일까요? 그렇다면 수학자들은 모두 구구단 이상의 곱셈을 아주 많이 외우고 있어야 할 테지만, 사실은 그렇지가 않습니다. 대부분의 수학자들은 구구단만을 외우고 있을 뿐이죠. 게다가 일본이 자랑하는 주판을 배운 덕분에 자릿수가 많은 숫자의 곱셈을 즉석에서 답할 수 있는 재능을 가진 사람들이 일본에는 아주 많다고 합니다. 그런 사람들은 모두 수학을 잘하며, 뛰어난 소프트웨어를 개발할 능력을 가지고 있는 것일까요? 전자계산기가 보급되기 전까지 인도의 아이들은 분명 구구단이 아니라 20까지의 정수끼리의 곱셈을 암기했다. 하지만 전자계산기가 보급된 요즘도 반드시 그렇게 하고 있는 것은 아닌것 같습니다. 그렇다면 인도의 수학 교육은 어떻게 다를까요? 이 책에서는 관련 내용들을 자세히 설명하고 우리는 어떻게 수학적 사고를 해야 하는지에 대해 잘 설명해 놓은 책인 것 같습니다.

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